人教高中数学第10讲 拓展五：四边形问题 (精讲）（教师版）.docx

第10讲 拓展五：四边形问题 (精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：求四边形中边（或角）
高频考点二：求四边形面积
高频考点三：求四边形面积最值
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：求四边形中边（或角）
1．（2022·福建·莆田一中高一期中）如图所示，四边形中，，，，则__________，__________.
【答案】     5     8
在中，，，，
由正弦定理得，所以，解得；
因为，，所以，
在中，，
由余弦定理得
,
所以.
故答案为：5；8
2．（2022·全国·高三专题练****文））如图，四边形中，且，则四边形面积取最大值时，___________.
【答案】2−2##-2+2
设，则，
因为且，所以，所以，
由余弦定理得，所以，
所以，
所以四边形面积，
令，则，
，
，
当时，，函数在上单调递增，所以，
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值为，
因为，所以四边形面积的最大值为，
此时，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
3．（2022·全国·高一专题练****如图所示，四边形是由等腰直角三角形以及直角三角形拼接而成，其中，若，则到的距离为__________．
【答案】
解：因为，解得或（舍去），
由，解得，
因为是等腰直角三角形，所以，故，，
在中，，
由余弦定理得，
故答案为：.
4．（2022·河北·模拟预测）从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在平面四边形中，已知，且__________．
(1)求；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)(2)
(1)选①
因为，所以，解得，
所以，
解得．
由，得．
选②
由，得，
所以，解得．
由，得．
(2)由（1）知，又，
所以，从而，
所以，
由，得．
5．（2022·四川绵阳·高一期中）在平面四边形中，，，．
(1)若的面积为，求；
(2)记，若，，求．
【答案】(1)(2)
(1)解：，解得，
由余弦定理得，因此，.
(2)
解：在中，，在中，，   
由正弦定理得，即，
所以，，即，故.
6．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，.
(1)当，时，求的面积；
(2)当，时，求.
【答案】(1)；(2).
(1)当时，在中，由余弦定理得，
即，解得，，
因为，则，又，
所以的面积是.
(2)在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
则，整理得，而，为锐角，
所以.
7．（2022·河南·安阳一中高一阶段练****在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，作，使得如图所示的四边形ABCD满足，．
(1)求B；
(2)求BC的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：由，
得，
即，
所以，
因为，
所以．
(2)设，则，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
，
，
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以BC的取值范围是．
8．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）已知平面四边形满足，，，.设，.
(1)当时，求四边形的面积；
(2)求的值（用表示）；
(3)若，求关于的函数表达式，并求出的最小值.
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：
又又
∴为正三角形，
在中，∵
故四边形ABCD的面积
=
(2)
又
在中，
在中，
(3)在中，
则
∴当时，.
9．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一期中）在平面四边形中，，，，，.
(1)求证：；
(2)求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)由题意可知，因为，，
所以，
由四边形的内角和定理，得，
所以，
所以.
.
(2)在中，由正弦定理，得
，即，
在中，由正弦定理，得
，即，，
由①②得，，即，
由（1）知，，即，
解得，又，所以，
在中，.
10．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）如图，四边形的内角，，，，且．
(1)求；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：设，
在中据余弦定理，得，即，①
又在中据余弦定理，得，即，②
因为，则，
联立①②可得，，因