人教高中数学第10章 §10.8　二项分布、超几何分布与正态分布.docx

§10.8　二项分布、超几何分布与正态分布
考试要求　1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
一、二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
二、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，
r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
三、正态分布
1．定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，
则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．3σ原则
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
常用结论
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，D(X)＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　√　)
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　)
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立．(　√　)
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．(　√　)
教材改编题
1．已知X～B(20，p)，且E(X)＝6，则D(X)等于(　　)
A．1.8 B．6 C．2.1 D．4.2
答案　D
解析　因为X服从二项分布X～B(20，p)，
所以E(X)＝20p＝6，得p＝0.3，
故D(X)＝np(1－p)＝20×0.3×0.7＝4.2.
2．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________.
答案　
解析　由题意得P(X＝2)＝＝.
3．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)．已知P(100<X≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．
答案　8
解析　∵考试的成绩X服从正态分布
N(110,102)，
∴该正态曲线关于X＝110对称，
∵P(100<X≤110)＝0.34.
∴P(X>120)＝P(X≤100)＝(1－0.34×2)＝0.16.∴该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50＝8.
题型一　二项分布
例1　(2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．
解　(1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件