人教高中数学第10章 §10.10　概率、统计与其他知识的交汇问题　培优课.docx

§10.10　概率、统计与其他知识的交汇问题
题型一　概率、统计与数列的综合问题
例1　为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为.每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分．
(1)若m＝2，求分数X的分布列与均值．(若结果不为整数，用分数表示)
(2)若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G(n)，如G(1)＝.
①求G(2)；
②问是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}为等比数列，其中n∈N*，n≥2？若有，求出λ；若没有，请说明理由．
解　(1)进行一次试验，
获得0分的概率为×＋×＝，
获得1分的概率为×＝，
获得2分的概率为×＝，
进行两次试验，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝4)＝×＝，
P(X＝3)＝××2＝，
P(X＝2)＝××2＋×＝，
P(X＝1)＝××2＝，
P(X＝0)＝×＝.
所以分数X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)①G(2)＝＋×＝，
②据题意有，
G(n)＝G(n－2)＋G(n－1)，其中n≥3，
设G(n)－λG(n－1)＝G(n－2)＋G(n－1)－λG(n－1)
＝G(n－2)＋G(n－1)
＝[G(n－1)－λG(n－2)]．
比较系数得－λ＝，
解得λ＝，
所以{G(n)－λG(n－1)}是公比为－λ的等比数列，其中n∈N*，n≥2，λ＝.
思维升华　高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．
跟踪训练1　(2022·大连模拟)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．
(1)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，
①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值．
(2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N*)的概率记为pn，求pn的最大值．
解　(1)①设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z，
则P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝，
P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝，
P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝，
所以P(Y>Z)＝×＋×＝，所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率为.
②由①知X的所有可能取值为4,5,6,7,8，
所以P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，
P(X＝6)＝，
P(X＝7)＝，P(X＝8)＝，
随机变量X的分布列为
X
4
5
6
7
8
P
E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6.
(2)由题意得p1＝，p2＝，
当n≥3时，
pn＝pn－1＋pn－2，
pn－pn－1＝－(pn－1－pn－2)
＝(pn－2－pn－3)＝…
＝n－2(p2－p1)
＝n，
所以pn＝n＋(n≥3)，
因为p1＝，p2＝，
所以pn＝n＋(n∈N*)，
当n为奇数时，n<0，
pn<；
当n为偶数时，
p2＝2＋＝>，且数列{pn}为递减数列，所以pn的最大值为.
题型二　概率、统计与函数的综合问题
例2　(2021·新高考全国Ⅱ)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
(1)解　E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)证明　设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，
因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，
故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，
若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，
故p2＋2p