人教高中数学第14讲 拓展七：极值点偏移问题 (精讲）（教师版）.docx

第14讲 拓展七：极值点偏移问题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
高频考点二：含参数的极值点偏移问题
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
第三部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、极值点偏移的含义
函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；
①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．
　　　　　　　 　　
若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量
都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
2.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
①对称化构造法
1．（2022·全国·高三专题练****已知函数.
(1)求的极值.
(2)若，，证明：.
【答案】(1)极大值为，的极小值为(2)证明见解析
【解析】
(1)
（1）由题意可得.
当或时，；当时，.
所以在与上单调递增，在上单调递减.
故的极大值为，的极小值为.
(2)
证明：由（1）可知.
设，，
则
.
设，则.
因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以在上恒成立.
因为，所以，
因为，所以.
由（1）可知在上单调递增，且，，
则，即.
2．（2022·全国·高三专题练****设函数．
（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）定义域为，，
当时，，即在上单调递增，不合题意，；
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
存在，使得成立，则，即，
又，，
即，
令，则，
在上单调递增，又，，
即实数的取值范围为.
（2）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
由且知：；
令，，
则，
在上单调递增，，即；
，又，；
，，又且在上单调递减，
，即.
【点睛】
方法点睛：本题第二问考查了导数中的极值点偏移问题的变形，处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；