人教高中数学第15讲 用导数的几何意义研究曲线的切线（教师版）.docx

第15讲 用导数的几何意义研究曲线的切线
真题展示
2022新高考一卷第15题
若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 　，，　．
【思路分析】设切点坐标为，，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由△即可求出的取值范围．
【解析】【解法一】(切线方程)，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
【解法二】法二(切线斜率)：设切点为(m,(m+a))，易得y'=(x+a+1)，则切线的斜率k=(m+a+1)=，即m(m+a+1)=m+a,+am−a=0，依题意其有两个不等实根，故△=+4a>0，解得a<−4或a>0.
【试题评价】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
知识要点整理
用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
下面例析四种常见的类型及解法．
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．
例1　曲线在点处的切线方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2　与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：设为切点，则切点的斜率为．
．
由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3求过曲线上的点的切线方程．
解：设想为切点，则切线的斜率为．
切线方程为．
．
又知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或．
评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4　求过点且与曲线相切的直线方程．
解：设为切点，则切线的斜率为．
切线方程为，即．
又已知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，即．
评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
解：曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，
则点的坐标满足．
因，
故切线的方程为．
点在切线上，则有．
化简得，解得．
所以，切点为，切线方程为．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
2、求圆锥曲线的切线
在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线与抛物线只有一个交点，是的切线，但与抛物线也只有一个交点，但却不是的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。
切线的定义：设是曲线上一定点，是该曲线上的一动点，从而有割线，令沿着曲线无限趋近于，则割线的极限位置就是曲线在的切线（如果极限存在的话）。
这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明是的切线，而不是的切线，这一切线定义可用于任何曲线。
导数的几何意义就是曲线在点的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。
例6求曲线在时的切线方程。
解：
当时，
又当时，
当时，所求的切线方程为：
即
反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线的切线定义都难得给出，更别说讨论与的切线有关的问题了。
例7已知函数在处取得极值，过点作曲线的切线，求此切线方程。
解：由例4，曲线方程为，点不在曲线上。
设切点为则点的坐标满足，
由于，故切线的