人教高中数学第18讲 解三角形（教师版）.docx

第18讲 解三角形
真题展示
2022新高考一卷第 题
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【思路分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出．
（2）利用诱导公式把用表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．
【解析】（1）【解法一】(交叉相乘)：，，
化为：，，
，，，
，．
【解法二(半角公式)：由诱导公式及二倍角公式可得
，
由二倍角公式得，∵，∴tan=tanB，
又∈(−)，B∈(0,π)，∴=B，即A=2B，从而C=+B，又C=，∴+B=，解得B=.
（2）【解法一】(统一为C)：由（1）可得：，，，，
为钝角，，都为锐角，．A=>0，得，
，
，当且仅当
时取等号．
的最小值为．
【解法二】法二(统一为B)：由(1)知A=−2B∈(0,π)，B∈(0,π)，C=+B∈(0,π)，解得，B∈(0, )，从而cosB∈(,1),
由正弦定理得=−5≥4−5,当且仅当4=，=时取等号。
故的最小值为4−5。
【试题评价】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
考查目标
试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境.解三角形本质上是在三角形内蕴方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理）的基础上，把试题设定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而求得三角形的全部或者部分度量关系.试题考查正弦定理、三角函数两角和公式、二倍角公式等基础知识；同时以三角函数为载体，考查了均值不等式的应用．试题考查内容强调基础，服务"双减".
试题考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及理性思维、数学探索等学科素养．试题考查的内容是解三角形的重点知识，涉及的最值求解问题也是学生常见的形式，符合基础性、综合性的考查要求.
知识要点整理
知识点一　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
知识点二　解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
知识点三　正弦定理
条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
＝＝
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
知识点四　三角形中边与角之间的关系
1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
(1)cos A＝；cos B＝；cos C＝.
(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中R为△ABC外接圆的半径)
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，△ABC为钝角三角形；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，△ABC为直角三角形；
(3)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则cos A＝>0，cos B＝>0，cos C＝>0，△ABC为锐角三角形．
三年真题
1．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
3．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．