人教高中数学第22讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式（解析版）.docx

第22讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【基础知识网络图】
同角三角函数基本关系式
诱导公式
同角三角函数基本关系式和诱导公 式
【基础知识全通关】
1、同角三角函数基本关系式
1．平方关系：.
2．商数关系：.
3．倒数关系：
注意：
①同角三角函数的基本关系主要用于：
已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值
证明三角恒等式
（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如，
，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.
2、诱导公式



注意：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：，）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
【考点研****一点通】
考点01同角三角函数基本关系式及诱导公式
1. 已知，，求、的值．
【答案】，.
【解析】方法一：∵，∴，
∵，
∴，.
方法二：∵，∴，
由图形可以知道：，.
【总结】①利用公式：求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.
【变式1-1】已知，，求、.
【答案】；．
【解析】∵，∴，
∵，
∴，.
考点02三角函数式的求值、化简与证明
2、已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________．
【答案】－1
【解析】由已知可得tanα＝－2
故答案为：－1
【总结】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题可用“1”代换，如.
【变式2-1】已知角终边上一点，求的值.
【解析】角上终边上一点
，
.
【变式2-2】化简
【答案】
【解析】原式
【变式2-3】证明
【解析】分析法：要证成立，
只要证成立
只要证成立
因为上式是成立的，所以原式成立.
考点03三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想
3、已知 ，求下列各式的值：
（1） （2）
【解析】方法一：由可得，即，
原式.
原式.
方法二：由已知得，
原式.
原式.
【总结】
已知的条件下，求关于的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点：一定是关于的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.
因为，所以可以用除之，这样可以将被求式化为关于的表达式，可整体代入，从而完成被求式的求值运算.
注意的应用.
【变式3-1】已知，且．求、的值；
【答案】；
【解析】
方法一：由可得：，
即，∴
∵，
∴、是方程的两根，
∴或
∵， ∴，
∴，，
∴
方法二：由可得：，
即，∴
∵，∴，∴，∴
由
∴
【总结】对于这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值，如：
；
；
.
【考点易错】
1、2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
2、若，则__________．
【答案】
【解析】.
故答案.
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
3、若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】(均可)
【解析】因为，
所以，解得，
故可取.
故答案为：(均可).
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础