人教高中数学第十六讲等差、等比数列解析版.docx

第十六讲：等差、等比数列
【考点梳理】
1.数列的前项和为与通项公式为
若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
2.等差数列
（1）如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）通项公式的推广：．
（3）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
（4）等差数列的性质
在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（5）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
（6）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
3.等比数列
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．
（3）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（4）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
【典型题型讲解】
考点一：等差、等比数列基本量运算
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，，，成等差数列，则（    ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为 ， ，
故由题意可得： ，，
解得 ， ，
故选：A
例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（   ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】．B
【详解】A选择中，由即，解得
B选项中，
C选项中，由，，
D选项中，
故选：B
【方法技巧与总结】
等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差公比或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和或是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练】
1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．
【答案】．2
【详解】由题意知，，
，
解得.
故答案为：
2．（2022·广东中山·高三期末）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（    ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【详解】因为是正项等比数列，所以，（舍去），
．
故选：C．
3．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：因为，
所以.
故选：B.
4．（2022·广东汕头·高三期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，由题知，解得，
所以，，，
则，.
故选：D.
5．（2022·广东中山·高三期末）在数列中，，，则数列的通项公式为________．
【答案】
【详解】由得：，而，
于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，
所以数列的通项公式为：.
故答案为：
6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则__________.
【答案】8
【详解】根据韦达定理可得，由等差数列的性质可得，
从而可得.
故答案为：8
7.（2022·广东潮州·高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和．若，则_________．
【答案】.62
【详解】设数列的公比为，则根据题意得，
又 ，所以计算得.
由等比数列前n项和得，数列的前五项和为，
故答案为：62.
8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则______．
【答案】.136
【详解】由题意得．
故答案为：136
9．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．
【答案】．(1) (2)7
【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为，则，解得，
所以数列的通项公式为．
（2），
，
由题得，解得，
因为，所以n的最小值是7．
10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
【答案】．(1)(2)
（1）
设数列的公比为，依题意可得