人教高中数学第四讲函数的概念及其表示解析版.docx

第四讲：函数概念及其表示
【考点梳理】
1、函数与映射的概念
函数
映射
两个集合A、B
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2、函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3、构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
5、函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
【典型题型讲解】
考点一：函数的概念
【典例例题】
例1（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（       ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
【答案】ABD
【详解】
对于A中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于B中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于C中，集合，当时，可得，所以不能构成从集合到集合的函数；
对于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合到集合的函数.
故选：ABD
【方法技巧与总结】
函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.
【变式训练】
1.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（        ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【详解】
若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
2.已知函数的定义域和值域都是集合，其定义如表所示，则____________．
x
0
1
2
0
1
2
【答案】
解：由表可知，.
故答案为：.
考点二：具体函数的定义域
【典例例题】
例1.函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：，故，解得：，
故选：B
例2.函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】
由题意可知，而以2为底的对数函数是单调递增的，
因此，求解可得或．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成区间的形式.
【变式训练】
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数有意义，必有，即，于是得，而，
所以.
故选：C
2.函数的定义域是_______．
【答案】
【详解】
由题意可得，，解之得
则函数的定义域是
故答案为：
3．函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】
解：由，
得，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：
考点三：抽象函数定义域
【典例例题】
例1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：