人教高中数学解密02 三角恒等变换与解三角形（分层训练）（解析版）.doc

解密02 三角恒等变换与解三角形
A组 考点专练
一、选择题
1．若sin α＝，则cos 2α等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】B
【解析】∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
2．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
【答案】D
【解析】因为tan 120°＝＝－，即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.
3.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】　由α，β为锐角，则－<α－β<，
由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝，
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)
A．1＋ B．2＋
C．4＋ D．5＋
【答案】D
【解析】在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C，
则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，
∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，
由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，
即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，
又S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，
∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
5.(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为
【答案】ACD
【解析】由a∶b∶c＝4∶5∶6，可设a＝4x，b＝5x，c＝6x，x>0.
根据正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，A正确.
由c为最大边，cos C＝＝＝>0，即C为锐角，得△ABC为锐角三角形，B不正确.
a为最小边，cos A＝＝＝，则cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cos C.由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，C正确.
若c＝6，则2R＝＝＝(R为△ABC的外接圆的半径)，则△ABC的外接圆的半径为，D正确.故选ACD.
二、填空题
6.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin 2α的值是________.
【答案】　
【解析】　因为sin2＝，所以＝，即＝，所以sin 2α＝.
7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.
【答案】　6
【解析】　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
又∵b