人教高中数学解密13 等差数列和等比数列的计算和性质 (解析版）.docx

解密13 等差数列和等比数列的计算和性质
【考点解密】
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用公式an＝f (n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2．数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项用公式表示
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f (an)或a1，a2和an＋1＝f (an，an－1)等表示数列的方法
3．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
4．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1<an
常数列
an＋1＝an
5．等差数列的定义
an－an-1=d (n≥2)
6．等差数列的通项公式
an ＝a1＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d .
7．等差中项
若a，b，c成等差数列，则2b=a+c . b叫做a与c的等差中项．
8．等差数列的下标和公式
若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an.
9．等差数列的前n项和公式
Sn＝ 或Sn＝na1＋d.
10．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn (A，B为常数)．
11.等差数列的常用性质
(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
(2)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d.
12．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
13．等比数列的定义
＝q (n≥2)．
14．等比数列的通项公式
an＝a1·qn－1 = am·qn－m ．
15．等比中项
若a，b，c成等比数列，则b2= a·c ． b是a与c的等比中项.
16．等比数列的下标和公式
若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq .
17．等比数列的前n项和公式
Sn＝
18．等比数列的常用性质
在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列 (n为偶数且q＝－1除外)．
【方法技巧】
♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．
(3)函数法．
✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1.
【核心题型】
题型一：等差数列的基本计算
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件求出的值，利用等差数列的通项公式可求得的表达式.
【详解】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，
所以，，所以，，
解得，因此，.
故选：D.
2．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（    ）
A．1666 B．1654 C．1472 D．1460
【答案】A
【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.
【详解】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：
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