人教高中数学解密16 导数的综合应用 （讲义）.doc

解密16 导数的综合应用
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
利用导数研究函数的零点
【2014新课标1理11文12】已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为(　　)
在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.
【2020新课标1文20】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【2020新课标3文20】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．
【2019新课标1理20】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．
【2018新课标2理21】已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
利用导数证明不等式
【2020新课标2理21】已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；
（3）设，证明：．
【2018新课标1理21】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【2016新课标3文21】设函数．
（I）讨论的单调性； （II）证明当时，；
（III）设，证明当时，．
导数与不等式恒成立、存在性问题
【2020新高考全国】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．
【2020新课标1理21】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【2017新课标1文21】已知函数．
（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．
【2017新课标2文21】设函数f (x) = (1-x2)ex．（1）讨论f (x)的单调性；（2）当x0时，f (x)ax+1，求a的取值范围．

核心考点一 利用导数研究函数的零点
1.利用导数研究函数的零点
函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.
2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1<x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
a的符号
零点个数
充要条件
a＞0
(f(x1)为极大值，
一个
f(x1)＜0或f(x2)>0
f(x2)为极小值)
两个
f(x1)＝0或f(x2)＝0
三个
f(x1)＞0且f(x2)＜0
a＜0
(f(x1)为极小值，
f(x2)为极大值)
一个
f(x1)>0或f(x2)＜0
两个
f(x1)＝0或f(x2)＝0
三个
f(x1)＜0且f(x2)＞0
1．【2014新课标1理11文12】已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
【解析1】由已知，，令，得或，
当时，；
且，有小于零的零点，不符合题意．
当时，
要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．故选B．
【解析2】由已知，=有唯一的正零点，等价于
有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，，由，，，
，要使有唯一的正零根，只需，故选B．
2．【2020新课标1文20】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）求导，，
当时，在上恒成立，所以在单调递增，故至多有1个零点，不合题意。
当时，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，
若，则，故至多有1个零点，不合题意，
若，，则。，故在有且仅有1个零点，故在有且仅有1个零点；，故在有且仅有1个零点，故在有且仅有1个零点．
综上所述，的取值范围是．
3．【2019新课标1理20】已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．
【解析】（1）设，则，．
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为．
则当时，；当时，．
所以在单调递增，在单调递减，
故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点．
（2）的定义域为．
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．