人教高中数学解密16 一元二次不等式和基本不等式问题（解析版）.docx

解密16 一元二次不等式和基本不等式问题
【考点解密】
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1<x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2 (a，b∈R)．(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
【方法技巧】
1．利用基本不等式求最值问题
已知a>0，b >0，则
(1)如果积a b是定值p，那么当且仅当a＝b时，a＋b有最小值2. (简记：积定和最小)
(2)如果和a＋b是定值p，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值. (简记：和定积最大)
2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
【核心题型】
题型一：含参数的一元二次不等式问题
1．（2022·全国·高三专题练****已知集合，，若，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解分式不等式求得集合，对进行分类讨论，结合，求得实数的取值范围.
【详解】由或.所以或，所以.由，解得或.，当时，，此时，满足；当时，，由得，即且.综上所述，实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查根据交集、补集的运算结果求参数的取值范围，属于中档题.
2．（2023·全国·高三专题练****若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
3．（2021·全国·高三专题练****已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（    ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】先判断函数单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得，解不等式即得解.
【详解】任取，由已知得，即，所以函数单调递减．
由可得，
即，
所以，
即，
即，
又因为，
所以，
此时原不等式解集为．
故选：A
【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.
题型二：一元二次不等式根分布问题
4．（2021·全国·高三专题练****已知若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解．
【详解】解：作出函数的图象如图所示，
令，
则由图可知，当时，方程只有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程只有一个根；
显然不是方程的根；
若是方程的根，则，此时，结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意；
∴恰有5个零点等价于方程恰有5个实根，等价于方程的一个根在，一个根在，
令，则，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于难题．
5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在区间上任取两个