人教高中数学课时跟踪检测（十七） 函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略 作业.doc

课时跟踪检测（十七） “函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略
1．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点，等价于方程a＝在(0，＋∞)上有2个根，等价于y＝a与g(x)＝(x>0)的图象有2个交点．
g′(x)＝，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)

极大值

所以g(x)的最大值为g(1)＝1.
因为x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，由洛必达法则可知：
g(x)＝ ＝ ＝0，
所以0<a<g(1)，所以0<a<1.
故实数a的取值范围为(0,1)．
2．已知函数f(x)＝axex(a∈R)，g(x)＝ln x＋x＋1.若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解：f(x)≥g(x)恒成立，即axex≥ln x＋x＋1恒成立．
因为x＞0，所以a≥.
令h(x)＝，则h′(x)＝.
令p(x)＝－ln x－x，则p′(x)＝－－1＜0，
故p(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又p＝1－＞0，p(1)＝－1＜0，
故存在x0∈，使得p(x0)＝－ln x0－x0＝0，
故ln x0＋x0＝0，即x0＝e－x0.
当x∈(0，x0)时，p(x)＞0，h′(x)＞0；
当x∈(x0，＋∞)时，p(x)＜0，h′(x)＜0.
所以h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．
所以h(x)max＝h(x0)＝＝1.
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)试用a表示出b，c；
(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝a－，
由得b＝a－1，c＝1－2a.
(2)题设即“a≥(x>1)，或a≥(x>1) 恒成立”．
设g(x)＝(x－1)2＋(x－1)－xln x(x≥1)，
则g′(x)＝x－ln x－1(x≥1)，
又g″(x)＝1－恒大于0(x>1)，
所以g′(x)单调递增(x>1)，所以g′(x)>g′(1)＝0，
所以g(x)单调递增(x>1)，
所以g(x)≥g(1)＝0(x≥1)，
当且仅当x＝1时g(x)＝0，故<(x>1)， ＝.
所以若a≥(x>1)恒成立，则a≥，
即a的取值范围是.
4．已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.
(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；
(2)证明：ln x1＋ln x2>2.
解：(1)f′(x)＝＝(x>0)，
由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当0<x<ea＋1时，f′(x)>0，
当x>ea＋1时，f′(x)<0，
所以f(x)在x＝ea＋1时取得极值，
所以ea＋1＝e，解得a＝0.
所以f(x)＝－