人教考点09 解三角形（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点09 解三角形（核心考点讲与练）
一、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
二、解三角形的实际应用
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.
2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cos C＝<0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.
4.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
正弦定理
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（理））在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（       ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理即可求解.
【详解】解：由题意，根据正弦定理有，所以，
要使三角形有两组解，则，且，即，
所以，
所以a的值可以为．
故选：C．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知在锐角中，，点M在边AC上，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用正弦定理边化角对等式变换求出的值，再由角平分线的性质利用面积相等求解即可.
【详解】依题意，由正弦定理可得，
解得，
因为，故．而，
故，
解得
故选：D．
二、多选题
3．（2022·广东茂名·二模）如图，在四面体ABCD中，，底面ABC，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积不可能是（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】CD
【分析】根据已知条件将三棱锥补为直三棱柱，找出球心，求出△ABC的外接圆半径，从而求出棱长，分析△ABC面积的变化，从而得到三棱锥体积的范围.
【详解】如图：
根据已知条件可将三棱锥补为直三棱柱，则三棱锥的外接球即为该三棱柱的外接球.
设直三棱柱的上下底面三角形的外接圆圆心分别为，，外接球球心为O，则O为中点，根据已知条件可知＝AD＝AC.设外接球半径为R，设上下底面三角形外接圆半径为＝r.
由，
设，则，OB＝R＝，
在△ABC中，由正弦定理知：
，
在中由勾股定理得：
，即，即，则，，AC＝AD＝2.
△ABC及其外接圆的如图：
I为AC中点，则CI＝，，，
当B为延长线圆的交点时，易知tan∠IBC＝，则，则，和已知∠ABC的大小符合，
∵∠ABC是优弧所对的角，∴当点B在优弧上移动时，∠ABC始终为60°，
∴△ABC面积最大为：，
∴三棱锥D－ABC的体积最大为：.
故答案为：CD.
【点睛】本题关键是利用正弦定理求出△ABC的外接圆半径，从而分析出△ABC面积的变化范围.
4．（2022··一模）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．