人教考点20 椭圆（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点20 椭圆（核心考点讲与练）
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.
4.求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
椭圆的定义
一、单选题
1．（2022·内蒙古通辽·二模（理））椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率.
【详解】因为，所以.
因为的周长为，所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故选：B.
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，所以，
所以.
故选：A.
3.（2021广东省深圳市高级中学等九校联考）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】依题意可得，根据椭圆的定义可得，即可得到为等边三角形，从而得到，即可得到直线的斜率；
【详解】解：依题意，即，又，，，所以，所以为等边三角形，即为椭圆的上顶点，所以，所以
故选：B
二、多选题
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（       ）
A．周长为4 B．面积的最大值为
C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得面积最大值判断B，由可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．
【详解】由题意，，，短轴一个端点，
对于A，由题知，故周长为，故A错误；
对于B，利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确；
对于C，，设，从而,所以，故C正确；
对于D，因为，，
则，，故D错误．
故选：BC．
5．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（       ）
A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B．若，则的面积为