人教考点22 抛物线（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点22 抛物线（核心考点讲与练）
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
1.求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
2.确定及应用抛物线性质的技巧：
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．
抛物线的定义与方程
一、单选题
1．（2022·广东·二模）已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得，又，可得△FAB的周长为，又知，即可求解.
【详解】
由题意知：抛物线焦点恰为圆心，抛物线准线，圆半径为2，可得圆与相切，设直线l：与准线交于，
由抛物线定义知：，又，故△FAB的周长为，
由图知，故，结合选项知：△FAB的周长可能为5.
故选：B.
2．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且，则点P到准线l的距离为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】设，，∵，,
∴，∴，
∴P到l的距离，
故选：C．
3.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线第一象限上一点到其焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案】D
【分析】设点，其中，利用抛物线的定义可求得的值，即为所求.
【详解】设点，其中，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可得，，解得.
故选：D.
二、多选题
4．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（       ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF
B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
【答案】AC
【分析】A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由及抛物线方程求出坐标，再说明三点共线，即存在直线即可；C选项设，表示出直线AE，联立抛物线，利用即可判断；D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断.
【详解】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；
B选项，如图2，设，，，，，E为线段PF的中点，则，，
由得，解得，，又，故， ，又，
可得，，故