人教考向36 立体几何中的向量方法-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向36 立体几何中的向量方法
1．（2021·全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.
（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
2．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．
【详解】
因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，
．
由题设（）．
（1）因为，
所以，所以．
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，
此时．
【点睛】
本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出（），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．
2．（2021·山东高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
(1)由题意可得 即为SA 与 BC所成的角，根据余弦定理计算即可；
(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.
【详解】
【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，，
又在正方形中，因此，
因此与所成角的余弦值是．
（2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，，
因此平面，又因为平面，因此．
1、利用向量求空间角的步骤
第一步：建立空间直角坐标系．
第二步：确定点的坐标．
第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标．
第四步：计算向量的夹角(或函数值)．
第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．
第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
2、利用向量求线线角的解题策略
(1)向量法求异面直线所成的角的方法有两种
①基向量法：利用线性运算．
②坐标法：利用坐标运算．
(2)注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.
a与b的夹角为β
l1与l2所成的角为θ
范围
[0，π]
求法
cos β＝
cos θ＝|cos β|＝
3、向量法求线面角的两大途径
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
如图所示，设直线l的方向向量为e，
平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，
两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.
4、求二面角的大小
（1）建系时，首先确定图形中有建系的条件；否则要先寻找并证明，如本题先证明DE⊥DA.
（2）建立空间直角坐标系后，写出各点坐标，正确求解平面的法向量是解决本题的关键．
（3）完整认识二面角的棱与半平面，如本题面AMA1实质是棱柱侧面ABB1A1，可用与待定其法向量，面MA1N实质是面MA1D，直接可用、求法向量简单．
（4）求解时要区分向量夹角与二面角大小的关系．
①如图①，AB，CD是二面角α­l­β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的