专题12 不等式选讲-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（人教版）（解析版）.doc

专题12 不等式选讲
1．（2021·全国高考真题（文））已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
1．（2021·江西高三其他模拟（文））已知不等式的解集为
（1）求的值；
（2）若，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为4.
【分析】（1）用零点分区间法去绝对值后直接解不等式即可得到m、n；
（2）由（1）可得把转化为，利用基本不等式求最值.
【详解】解：（1）当时，由可得，解得，所以
当时，由可得，解得，所以
当时，由可得，解得，所以
综上所述，不等式的解集为，则
（2）由（1）可得所以
，
当且仅当，即时，等号成立，的最小值为4.
【点睛】（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数；
（2）不等式的证明通常利用基本不等式、柯西不等式.
2．（2021·广西高三其他模拟（文））已知函数．
（1）解不等式：；
（2）已知实数满足：对都有，若，，且，求最小值．
【答案】（1）；（2）12.
【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；
（2）由已知可知，是函数的最小值，求出即可得到，再利用柯西不等式求最小值，即可得到答案
【详解】（1）
当时，由得，则；
当时，由得，则；
当时，由，则；
综上，不等式的解集：.
（2）已知对都有，则，
，
则在上是减函数，在上是增函数，
所以，
，即，
则
，
当且仅当，即，，时等号成立，
所以.
【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：
“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项和的最小值；
二维不等式：，当且仅当时，等号成立；
一般形式： ，当且仅当时，等号成立.
3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设，，，，集合中的最大元素为，且，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】（1）用零点分段讨论求解即可；
（2）由（1）知，进而由柯西不等式求解即可.
【详解】（1）不等式可化为
，或，或，
解得，或，或，
不等式的解集.
（2）易知，所以，，
由柯西不等式得
(当且仅当时取等号)，
，即，
的最小值为.
4．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））已知函数.
（1）求函数的取值范围；
（2）若的最小值为，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求得的取值范围；
（2）由基本不等式求得，，即可证明.
【详解】（1）
当且仅当，即时取到等号，
∴g(x)的取值范围是
（2）由（1）问可知g(x)的最小值为1，∴，
因为，所以，
同理，，
三个不等式相加得
即，当且仅当时等号成立.
5．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知函数.
(1)解不等式；
(2)若方程的解集为空集，求k的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)把函数化为分段函数形式，在各段上解不等式即可作答；
(2)化方程为，作出函数图象，利用数形结合的思想即可得解.
【详解】(1)，则不等式化为：
或或，解得或或，
即，所以不等式的解集为；
(2)，令
方程解集为空集，即直线与函数图象无公共点，在同一坐标系内作出直线和函数图象，如图：
直线是过原点的直线，当它过点A(4，2)时，，当它与直线BC平行时，，
观察图形知，当直线在直线和所夹含x轴的对顶角区域(不包括直线)内绕原点旋转时与函数图象无公共点，即，
所以k的取值范围是.
【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法：
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三