人教版第7讲 函数与方程（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第7讲 函数与方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的零点
(1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
考点和典型例题
1、函数零点所在区间的判断
【典例1-1】（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三阶段练****文））利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设，
当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在区间上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.
故选：C．
【典例1-3】（2019·全国·高三专题练****若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（       ）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【详解】
根据二分法，结合表中数据，
由于
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
【典例1-4】（2022·天津·静海一中高三阶段练****已知函数是周期为的周期函数，且当时
时，，则函数的零点个数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
零点个数就是图象交点个数，
作出图象，如图：
由图可得有个交点，
故有个零点．
故选：B ．
【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（       ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】
令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
2、图像零点个数的判定
【典例2-1】（2022·北京·模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】
由
可得或，又，则，或，或
则的零点个数为3
故选：C
【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数，则函数的零点个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
令，
当时，且递增，此时，
当时，且递减，此时，
当时，且递增，此时，
当时，且递增，此时，
所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：
由图知：与有两个交点，横坐标、：
当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.
综上，的零点共有4个.
故选：B
【典例2-3】（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：当时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，
所以为一次函数，
因为在内恰有一个零点，
所以，即，解得或.
故的取值范围是.
故选：C
【典例2-4】（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（       ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
【答案】D
【详解】
因为，所以的周期为2，
又因为为奇函数，，
令，得，又，所以，
当时，，
由单调递减得函数在上单调递增，
所以，得，
作出函数图象如图所示，
由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.