人教高中数学第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (练）（教师版）.docx

第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，
所以面，面，则.
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
所以，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A
2．（2022·全国·高二课时练****若两个半平面的法向量所成的角为，则这个二面角的平面角的大小为（       ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】C
解：因为两个半平面的法向量所成的角为，
所以这个二面角的平面角的大小为或.
故选：C.
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练****理））如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
如图建立空间直角坐标系，，，，则有：，，
设平面PAE的法向量，则有,令,则，即
∴，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为．
故选：C．
5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，连接交于点，过点作于，
则平面，则，
设，
则，
则根据三角形面积得，
代入解得．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，
设平面的法向量为，，，
则，即，令，得．
，
所以直线与平面所成的角的余弦值为，
故选：．
6．（2022·吉林白山·高一期末）在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
M是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以是直线AM与平面PBC所成的角．当PM最短，即时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时，．
在中，，则，解得．
将三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为．
故三棱锥外接球的半径，三棱锥外接球的体积为．所以D正确；
故选：D.
7．（2022·全国·高一单元测试）正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，
由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，
其中，
所以当时，取得最大值，
因为，
所以的最大值为，
所以，，
平面的法向量，
所以与平面所成角的正弦值为
故选：A
8．（2022·浙江·模拟预测）如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，
因为，所以，又，所以，
,，
则，
所以，
取中点E，连接，则，，
,,
在中，，即，
所以，即，
又因为，所以，
因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．
故选：D．
二、多选题
9．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练****三棱锥中，平面与平面的法向量分别为、，若，，则二面角的大小可能为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AD
由已知可得，因此，二面角的大小为或.
故选：AD.
10．（2022·湖北十堰·高二阶段练****如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（