人教高中数学第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲+精练）（教师版）.docx

第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
第三部分：第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有
①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数．
(1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值；
(2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)
，所以，，   
所以曲线在点处的切线方程为，
因为切线经过点，所以
解得．
(2)
设，则，   
设，则，
因为在上递增，
所以当时，，当时，
所以在上递减，在上递增，
所以，   
令，则
所以在递减，
因为，
所以，所以．
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数
，利用导数求得，再利用函数的单调性结合可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题
2．（2022·甘肃·一模（文））已知函数，．
(1)判断函数的单调性；
(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】
(1)
的定义域为，求导得：，
若时，则，此时在单调递增；
若时，则当时，在单调递减，
当时， ，f(x)在单调递增.
(2)
当时，，
由题意在上恒成立，
令，则，
令，则，所以在上递增，
又，所以在上有唯一零点，
由得，
当时，即，单调递减；时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值.
即
令，则方程等价于，
又易知单调递增，所以，即
所以，的最小值
所以，即实数的取值范围是
【点睛】
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练****已知函数（为自然对数的底数）.
(1)求的极值；
(2)（i）证明∶与有相同的零点；
（ii）若恒成立，求整数a的最大值.
【答案】(1)的极小值为，无极大值；
(2)（i）证明见解析，（ii）
【解析】
(1)
由题意可知，，
令，即，解得；
当时，，所以在单调的递增；
当时，，所以在单调的递减；
当时，取得极小值为，无极大值；
(2)
（i）由知，
所以在上单调递增；
由知，
所以在上单调递增；
又，
故必存在唯一使得，
即有，
故，
所以与有相同的唯一零点；
（ii）由，得恒成立，
在恒成立，
令，，则
，
由（i）知单调递增且存在唯一零点；则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故；
由（i）知；又，
故进一步确定；
故，
即，解得，又；
所以整数a的最大值为.
【点睛】
求解不等式问题的关键：
适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，
从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；
构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以
求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并
借助导数加以求解.
4．（2022·四川南充·二模（理））已知.
(1)求在的切线方程；
(2)求证：仅有一个极值；
(3)若存在，使对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)
当时，
得，又.
所以在的切线方程为：.
即；
(2)
令，
由于，得.
所以在单调递减.
所以存在唯一，使得.
所以于单调递增，单调递减.
，无极