人教高中数学第18讲 利用导数研究函数的单调性（解析版）.docx

第18讲 利用导数研究函数的单调性
【基础知识全通关】
一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上为增函数；
②若，则在这个区间上为减函数；
③若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
【微点拨】
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. 在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。
【微点拨】
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或。
三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间。或者：
令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内
的符号。
【微点拨】
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【考点研****一点通】
考点一：求函数的单调区间
例1、确定函数的单调区间.
【解析】。
令，得x＜0或x＞2，
∴当x＜0或x＞2时函数是增函数。
因此，函数的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。
令，得0＜x＜2。
∴函数在（0，2）上是减函数，其单调递减区间为（0，2）。
【总结】
（1）解决此类题目，关键是解不等式或。
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
【变式1-1】确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
【解析】
(1) y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
【点评】
（1）解决此类题目，关键是解不等式或。
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
【变式1-2】求下列函数的单调区间：
（1）
（2）；
（3）；
【答案】
（1）。
令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或。
因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和。
再令3x2－4x+x＜0，解得。
因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为。
（2）函数的定义域为（0，+∞），
。
令，即， 结合x＞0，可解得；
令，即， 结合x＞0，可解得