人教高中数学解密09 解三角形（解析版）.docx

试卷第10页，共28页
解密09 解三角形
【考点解密】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的有关几个术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
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方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
方法技巧
图形
关系式
a<bsin A
bsin A<a<b
a＝bsin A或a≥b
解的个数
无解
两解
一解
【核心题型】
题型一：正余弦定理
1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则
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的值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.
【详解】解：因为，
所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.
故选：A
2．（2023·四川内江·统考一模）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，，则（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理角化边，可求得c的值，再由余弦定理即可求得答案.
【详解】解：因为，所以，即.
又，所以，
由余弦定理得 ,
从而.
故选：B
3．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且，的中点为D，则的最小值为（    ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，进而得，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理和基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
由正弦定理，得，
即，
，
，
得或，
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解得或(舍去)，
所以；
又，所以.
由余弦定理，
得，
当且仅当即时等号成立，
由，解得，
所以AD的最小值为.
故选：A.
题型二：边角互化
4．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校联考阶段练****在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变换公式，把已知条件转化为各边的关系式，即可得出答案．
【详解】，化简得．
由正弦定理、余弦定理，得，化简得，
由，展开整理得，
则，即，
所以，
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练****秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
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【答案】A
【分析】根据 ，得到，即，再由，利用余弦定理得到，代入，转化为二次函数求解.
【详解】解：中，因为，
所以，
则，
即，
又，
则，
即，则，
所以，
当时