人教高中数学解密11 导数在不等式恒等式和零点问题综合应用（讲义）（解析版）.docx

解密11讲：导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用
【考点解密】
考点一：利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：
①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究，
考点二：利用导数证明不等式的基本步骤：
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
【方法技巧】
方法点睛：与和相关的常见同构模型：
（1），构造函数（或，构造函数）；
（2），构造函数（或，构造函数）；
（3），构造函数（或，构造函数）.
方法点睛:该题考查函数与导数的综合应用,属于难题,主要应用的方法有不等式放缩,关于常见的放缩有:
(1);
(2);
(3);
(4).
【核心题型】
题型一：导数在不等式恒成立问题
1．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知函数，对于，恒成立，则满足题意的的取值集合为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将在时恒成立转化为对于恒成立，设，且，即满足成立即可求满足题意的的取值．
【详解】解：函数，对于，恒成立，
即，对于恒成立，
可变化为：对于恒成立，
设，则函数在上单调递增，函数的值域为，
则不等式转化为在上恒成立，
设，则，
①当时，则恒成立，所以在上单调递增，
又，则，使得，不满足恒成立；
②当时，令，得，所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，则
设，则，得，
所以时，，单调递增，时，，单调递减，
所以，又，
所以，即.
所以综上所述，的取值集合为．
故选：D．
2．（2022·河南·统考一模）已知，若不等式恒成立，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，不等式显然成立，当时，转化为恒成立，利用函数的单调性，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，可求出的取值范围.
【详解】由有意义，知，
因为，所以当时，，，不等式显然成立，
当时，不等式恒成立，等价于恒成立，
等价于恒成立，
设，因为，
所以在上单调递增，
因为，，所以，
所以恒成立，等价于，
又在上单调递增，所以不等式等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上恒成立等价于.
综上所述：的取值范围为.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练****已知函数，对于任意的、，当
时，总有成立，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，可知函数为上的增函数，即对任意的，，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】不妨设，由可得出，
即，
令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
则，则，
令，其中，，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，则，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，所以，，可得，
且当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
所以，.
故选：A.
题型二：利用导数研究能成立问题
4．（2023·广西柳州·二模）设函数（，e为自然对数的底数），若存在使成立，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由可将其中的换为自变量，两边同时平方化简，再将参数分离开，构造新函数，求得新函数的最值即可得到a的取值范围.
【详解】
存在，使成立，即存在，使成立，
即，
存在，使与有交点，
对求导得，再求导得，
令，解得，
当时，当时，
在上单调递减，在上单调递增，
==
，即在上恒大于0，
在上单调递增，
要使与有交点，则.
故选：C.
5．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为（    ）
A． B．