人教高中数学解密15 数列的求和方法和不等式问题（解析版）.docx

解密15 数列的求和方法和不等式问题
【考点解密】
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝
2．分组求和法与并项求和法
(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①＝－.
②＝.
③
④＝.
⑤
⑥
⑦＝－.
⑧loga＝loga(n＋1)－logan (n>0)．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
【核心题型】
题型一：倒叙相加法求和
1．（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）已知函数，数列满足，则（    ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
2．（2020·全国·高三专题练****已知函数，若 ，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.
【详解】由题可知：
令
又
于是有    
因此
所以
当且仅当时取等号
本题正确选项：
3．（2022·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以
      
      .
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.
题型二：错位相减法求和
4．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求实数的值及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）当时，，两式相减可得为以为公比的等比数列．又由，可得实数的值及的通项公式；
（2）由（1）可得，则，后由错位相减法可得.
【详解】（1）当时，，
两式相减可得，，故，得是以为公比的等比数列．
又，故，则.故．
（2）由（1）及题意可得：，
故，
，
两式相减可得，，化简可得，．
5．（2023·湖南·模拟预测）已知正项等比数列的的前n项和为，且满足：，
(1)求数列的通项；
(2)已知数列满足，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；
（2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设的公比为，，
∵，∴，
∴，即，
∴，又，∴.
（2）∵，
∴，
∴，
相减得，，
∴，
所以.
6．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；
（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
【详解】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴
题型三：裂项相消法求和
7．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在数列中，．
(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前