人教高中数学课时跟踪检测（四十九） 5大技法破解“计算繁而杂”这一难题 作业.doc

课时跟踪检测（四十九） 5大技法破解“计算繁而杂”这一难题
1．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．2
解析：选B　∵直线MF的斜率为，MN⊥l，
∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，
∴△NMF是边长为4的等边三角形，
∴M到直线NF的距离为2.故选B.
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选D　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，
可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，
∴＝.①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16.②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为－＝1.
3．已知直线y＝2x＋m与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．当 △AOB的面积取得最大值时，|AB|＝(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　由得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝，
|AB|＝＝＝.
又O到直线AB的距离d＝，
则△AOB的面积S＝d·|AB|＝≤＝，
当且仅当m2＝21－m2，即m2＝时，△AOB的面积取得最大值．此时，|AB|＝＝.
4．记双曲线C：－＝1的左焦点为F，双曲线C上的点M，N关于原点对称，且∠MFN＝∠MOF＝90°，则＝(　　)
A．3＋2 B．4＋2
C．3＋ D．4＋
解析：选A　设双曲线的右焦点是F′，由双曲线的对称性和∠MF′N＝90°，得四边形MFNF′是矩形，∵∠MOF＝120°，∴∠MOF′＝60°，故△MOF′是等边三角形．
∴在Rt△MFF′中，∴∠MFF′＝30°，＝2c，
∴＝c，＝c，
∵－＝2a，∴c－c＝2a，
∴＝＝＋1，
∴＝＝－1＝(＋1)2－1＝3＋2，故选A.
5．椭圆＋y2＝1上存在两点A，B，且A，B关于直线4x－2y－3＝0对称，若O为坐标原点，则＝(　　)
A．1 B．
C. D．
解析：选C　由题意直线AB与直线4x－2y－3＝0垂直，设直线AB的方程为y＝－x＋m.
由消去y整理得x2－2mx＋2m2－2＝0，
∵直线AB与椭圆交于两点，
∴Δ＝(－2m)2－4(2m2－2)＝－4m2＋8>0，
解得－<m<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，
则x1＋x2＝2m，
∴x0＝＝m，y0＝－x0＋m＝，
∴点M的坐标为.
由题意得点M在直线4x－2y－3＝0上，
∴4m－2×－3＝3m－3＝0，解得m＝1.
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2m＝1，
∴＋＝(2,1)，∴|＋|＝.
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，直线l与抛物线交于相异两点A，B