人教高中数学秘籍09 圆锥曲线小题归类（9大题型）（解析版）.docx

秘籍09 圆锥曲线小题归类
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
圆锥曲线定义、直线与圆锥曲线位置关系
圆锥曲线属于高考难点，也是解析几何的主要内容，多出现在压轴题的位置，考察的内容和题型也偏多，需要学生对于基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决相应问题。需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，这里通过梳理题型来理解其中的含义和方法。
【题型一】 圆锥曲线定义型
基本定义：
(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)
(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).
(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
拓展定义：
1.A,B是椭圆C:+＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）
2.A,B是双曲线C:－＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）
1.已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．
【答案】
【详解】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，
由抛物线的定义可设：，由勾股定理可知：，
由梯形中位线的性质可得：，则：.
当且仅当时等号成立.即的最小值为.
2.已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【详解】快捷解法
原题解法麻烦如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，
由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，
因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有
，
联立化简可得，整理得，
，，所以，因为，所以，，
因为，所以，
因为，联立可得，，
因为为圆的直径，所以,
即，，，
，，，所以离心率．
3.已知双曲线:的左焦点为点,右焦点为点,点为双曲线上一动点,则直线与的斜率的积的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为
∵ ∴或，故或，故填.
（多选）1．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（    ）
A．恒为锐角 B．当垂直于x轴时，直线的斜率为
C．的最小值为4 D．存在点P，使得
【答案】ABD
【详解】对于A项，设切线方程为
联立得：，
∵直线与椭圆相切，故则，
∴切线PA的方程为，同理切线PB的方程为
而P点在上，故，
又满足该方程组，故，
显然过定点即椭圆左焦点.
以为直径的圆半径最大无限接近，但该圆与一直相离，即始终为锐角，A正确；
对于B项，由A得，轴时，，易得，，故B正确；
对于C项，由B知轴时，此时，故C错误；
对于D项，取中点，若则，
即为等腰三角形，，
化简得，由A知：，
整理得：，显然存在P满足题意，故D正确；
故选：ABD
2．（2022·江苏·统考三模）关于椭圆：，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：右准线的方程为；如果只有一个假命题，则该命题是(    )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【详解】依题意，甲：；乙：；丙：；丁：；∵，∴甲丙丁真命题，故乙为假命题﹒
故选：B﹒
3．（2022·浙江宁波·统考一模）已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．
【答案】
【详解】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），
椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d，
则
，
所以，
因为本题椭圆离心率:，设
由焦半径公式:得:,
即中点，，则垂直平分线斜率为
根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，
则线段的垂直平分线方程为,代入得:
,即,则.
故答案为：.
【题型二】 焦点弦与焦半径型
1.已知F是抛物线的焦点，点P在抛物线上，则
2.若焦点弦的倾斜角为，则（横放）若的倾斜角为，则（竖放）
1.设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长______．
【答案】
【详解】抛物线焦点坐标为，设点设直线l方程为，
由抛物线的定义有，由，得，