人教高中数学秘籍10 圆锥曲线大题归类（7大题型）（解析版）.docx

秘籍10 圆锥曲线大题归类
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
定点、定值类和设点设线类问题
圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练****题型一】 求根型
求根型有以下几种：
1.知道一根求另一根
2.求根公式型
3.韦达定理型
1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.
(1)求的标准方程；
(2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点，直线的方程为.
【详解】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，
当为等边三角形时，的高为，
由题意知点在上，代入，得，解得，
所以的标准方程为.
（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，即，且，，
所以，
由，得，
所以，所以，即，
又点在上，所以，即，①
所以，解得，
又点在第一象限，所以，所以.
又点到直线的距离，化简得，②
联立①②解得，或（舍去），或（舍去）.
此时点，直线的方程为.
2．（2023·陕西西安·统考一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设点关于坐标原点的对称点为，不过点且斜率为的直线与双曲线相交于两点，直线与交于点，求直线的斜率值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意知，双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为，
可得，解得，
所以的标准方程为：.
（2）解：设，直线的方程为，
由，整理得，
因为直线与相交于两点，
所以，且，
由点，当直线的斜率均存在时，
，
所以直线的方程为，
直线的方程为
两方程联立方程组，可得，
显然，可得，
所以，
当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，直线的方程为，
则，所以.
当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，直线的方程为，则，所以，即
综上可得：直线的斜率值.
3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知抛物线上一点的横坐标为4，且到焦点的距离为5，
(1)求抛物线的方程；
(2)点是抛物线上异于原点的不同的两点，且满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由抛物线，可得准线方程为，
因为点到拋物线的准线的距离为，且点的横坐标为，
根据抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为.
（2）解：根据题意，设，联立方程组，解得，所以，
因为，可得，即，
可设，联立方程组，
整理得到，则，
所以，，即，
所以，
设，当且仅当时等号成立，
则，
所以当时，取最小值为．
1．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，为上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)恒过定点
【详解】（1）由双曲线离心率为，得，
所以双曲线方程为，
又点在双曲线上，
即，
解得，，
所以双曲线的方程为；
（2）由已知得，，
设直线，点，
由得，，
则，即，，
所以
由，得，
所以
设直线，联立直线与圆，
得，，
则，即，，
所以，
所以，
即，
所以，
又点在圆上，
设圆与轴的另一个交点为，
则，且，即直线与重合，
所以直线恒过点.
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且
的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线的斜率为定值，理由见解析
【详解】（1）设，椭圆的左、右