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构造法解决抽象函数问题
在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度．下面总结其基本类型及其处理方法．
类型一　只含f(x)型
定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(x2)>的解集为(　　)
A．(1，2) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(－1，1)
【解析】　构造函数g(x)＝f(x)－x＋c(c为常数)，则g′(x)<0，即函数g(x)在R上单调递减，且g(1)＝f(1)－＋c＝＋c.f(x2)>＝x2＋，
即f(x2)－x2＋c>＋c，即g(x2)>g(1)，
即x2<1，即－1<x<1.故选D．
【答案】　D
利用(f(x)＋kx＋b)′＝f′(x)＋k，根据导数符号，可得出函数g(x)＝f(x)＋kx＋b的单调性，利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式等．
类型二　含λf(x)±f′(x)(λ为常数)型
已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有(　　)
A．e2 015f(－2 015)<f(0)，f(2 015)>e2 015f(0)
B．e2 015f(－2 015)<f(0)，f(2 015)＜e2 015f(0)
C．e2 015f(－2 015)＞f(0)，f(2 015)>e2 015f(0)
D．e2 015f(－2 015)＞f(0)，f(2 015)＜e2 015f(0)
【解析】　仅从f(x)>f′(x)这个条件，无从着手，此时我们必须要借助于选择题中的选项的提示功能，结合所学知识进行分析．构造函数h(x)＝，则h′(x)＝<0，即h(x)在R上单调递减，故h(－2 015)>h(0)，即>⇔e2 015f(－2 015)>f(0)；同理，h(2 015)<h(0)，即f(2 015)<e2 015·f(0)，故选D．
【答案】　D
由于ex>0，故[exf(x)]′＝[f(x)＋f′(x)]ex，其符号由f(x)＋f′(x)的符号确定，′＝，其符号由f′(x)－f(x)的符号确定．含有f(x)±f′(x)类的问题可以考虑构造上述两个函数．
类型三　含xf(x)±nf′(x)型
(1)已知偶函数f(x)是定义在{x∈R|x≠0}上的可导函数，其导函数为f′(x)．当x<0时，f′(x)>恒成立．设m>1，记a＝，b＝2f(2)，c＝(m＋1)·f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a<b<c B．a>b>c
C．b<a<c D．b>a>c
(2)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是(　　)
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)>x D．f(x)<x
【解析】　(1)当x<0时，f′(x)>⇔xf′(x)－f(x)<0.
构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝<0，
即g(x)在(－∞，0)上单调递减．
函数f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，
得g(x)在