人教高中数学专题13 不等式选讲（解析版）.doc

专题13 不等式选讲
1．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】
（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】
（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】
关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）.（2）.
【分析】
（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
（2）依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
【点睛】
解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.
1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的最小值为.
（1）求的值；
（2）若对任意的成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用绝对值不等式求解；
（2）等价于对任意的成立，即，解绝对值不等式即得解.
【详解】
（1），当且仅当，即时取等.
所以函数的最小值；
（2）由题得对任意的成立，
所以对任意的成立，
因为，
所以
所以，
所以，
所以，
所以.
所以实数的取值范围是.
2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）分段讨论得出函数的解析式，由此可建立不等式组，解之可得答案.
（2）由（1）可作出函数的图象，根据图象可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）由题可得，
因为，所以或或，
即或或，
所以，
所以不等式的解集为.
（2）因为存在，使得，所以，
由（1）可知，作出函数的图象，如下图所示，
由函数的图象可知，
所以，所以实数的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数．
（1）解不等式的解集；
（2）设的最小值为，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可得，可得出，进而可得出，利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】
（1）当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时.
综上，不等式的解集为；
（2）由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则，故，所以，，
所以，，
当且仅当时取等号，故的最小值为．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1），；（2）4.
【分析】
（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，解不等式即可求出不等式的解集，从而求出，的值；
（2）利用柯西不等式的性质即可求出最大值．
【详解】
解：（1）由，得，
解得，
所以，．
（2）由（1）得，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为4．
5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，且满足.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知转化利用基本不等式可求解；
（2）利用基本不等式可证明.
【详解】