人教版第10讲 导数与函数的单调性（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第10讲 导数与函数的单调性
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
考点和典型例题
1、不含参函数的单调性
【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练****理））函数的单调增区间是(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数
(1)当时，讨论的单调区间；
(2)当时，若有两个零点，且，求证：.
【解析】(1)
当时，
所以，当时，在上增，在上减；
当时，在上减，在上增.
(2)
方法一：参数分离
有两个不同的零点
令，则
令得
当时，，所以：在递增；
当时，，所以：在递减.显然时，.
作出的图象如下：
所以：∴，
所以：，所以，；
下面证明：.要证：，因为
所以：
由（1）得.所以，原不等式得证.
综上所述：.
方法二：部分参数分离
零点.
从而为的图像与交点的横坐标.对给定的a，令使得，即，
得，存在且唯一，此时的图像与有唯一交点.
又，由（1）得，当时，，所以，
（这里要说明）又因为成立.
5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，（且）.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)增区间为，减区间为(2)
【解析】(1)
当时，，
当时，，当时；
故的单调递增区间为，递减区间为.
(2)由题意知在有两个不等实根，
，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
又，，，，，，
作出的图象如图所示：
由图可知，解得且，
即a的取值范围为.
含参函数的单调性
【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练****已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由已知可得即为，
设，，
则，
当时，显然，当时，在上也成立，
所以时，在上单调递减，恒成立；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，存在，使得，不满足，舍去此情况，
综上所述，.
故选：A.
3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练****理））已知，则下列说法正确的是（       ）
A．当时，有极大值点和极小值点 B．当时，无极大值点和极小值点
C．当时，有最大值 D．当时，的最小值小于或等于0
【答案】D
【详解