人教版第12讲 导数的综合应用（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第12讲 导数的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1、不等式恒成立　
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
双变量恒成立
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.
(4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
2、利用导数研究函数的零点
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图像，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图像与性质确定函数有多少个零点.
3、构造函数证明不等式
(1)五个常见变形：
xex＝ex＋ln x，＝ex－ln x，＝eln x－x，x＋ln x＝ln xex，x－ln x＝ln .
(2)三种基本模式
①积型：aea≤bln b
②商型：＜
③和差型：ea±a＞b±ln b
考点和典型例题
1、不等式恒成立
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练****已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∃x1,x2∈R，使得成立，等价于，
，
当时，，递减，当时，，递增，
所以当x＝－1时，取得最小值；
当x＝－1时取得最大值为，
所以，即实数a的取值范围是
故选：B．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练****已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
对任意两个不等的正实数，都有恒成立，即为时，恒成立.
所以在上恒成立，则
而，则．
故选：A．
【典例1-3】（2022·全国·高三专题练****已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：，
，
令，显然为增函数，
则原命题等价于
，
又令，则，
所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，
所以，即恒成立，
所以，
所以，即得．
故选：B
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练****设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故.
故选：B．
【典例1-5】（2022·全国·高三专题练****已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
当时，，从四个选项均为负，考虑，此时有，
两边取对数得：，
所以
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无最大值，
此时无解，
综上：故a的最小值是．
故选：C
2、利用导数研究函数的零点
【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（理））已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数与函数的图象恰有3个交点，所以有3