人教版第34讲 随机变量及其分布列（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第34讲 随机变量及其分布列
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知识梳理
随机变量及其分布列的数字特征
1.离散型随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；
(2)pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).
(2)方差
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.
(3)标准差
称称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
分布列
1.n次独立试验与二项分布
(1)n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
(2)二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s为M与n中的较小者，
t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且
P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，
这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M).
4.正态分布
(1)正态曲线
φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差.φ(x)也常常记为φμ，σ(x).
(2)正态曲线的一些性质
①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；
②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；
③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
考点和典型例题
1、随机变量及其分布列的数字特征
【典例1-1】设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其