人教高中数学第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题 (精讲）（教师版）.docx

第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
高频考点三：求三角形面积最值
高频考点四：求三角形面积取值范围
第三部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角C；
(2)若，的面积，求S.
【答案】(1)(2)
(1)因为，所以，
所以，
由正弦定理得.
因为，所以.
因为，所以，所以，则.
(2)由，根据面积公式，得，所以.
由余弦定理得，整理得，即，
所以，.
所以的面积
2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的面积为，，求的面积.
【答案】(1)(2)
(1)因为，
由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理，得.
因为，所以.
(2)设外接圆的半径为，则，所以.
由正弦定理，得，所以.
因为，，所以是等边三角形.
所以的面积为.
3．（2022·全国·高三专题练****已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上，且，，求△的面积.
【答案】(1)；(2).
(1)由已知及正弦定理得：，又，
∴，又，
∴，则，而，
∴，则，故，得.
(2)由，，则.
法一：在△中，，①
在△中，，②
∵，
∴，③
由①②③得：，又，得，
∴，不妨设，，
在△中，由余弦定理可得，，得，
所以.
法二：.
∵△的边BD与△的边DC上的高相等，
∴，由此得：，即，不妨设，，
在△中，由余弦定理可得，，得，
所以.
4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意得：
由正弦定理得，
所以，
所以
又因为，所以.
所以 ，；
(2)若，由正弦定理，得，
则，，
则，
所以.
5．（2022·全国·高三专题练****在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．
在中，角，，所对的边分别为，，，且________．
(1)求角的大小；
(2)已知，为中点，且，求面积．
【答案】(1)选①；选②；选③
(2)选①；选②；选③
(1)解：选①：，
由正弦定理可得：，，，
由余弦定理可得，所以，
选②：，
由正弦定理得：，
所以，
，
所以，，，
选③：，
由正弦定理可得：，
可得：
可得：，
，，解得，
，．
(2)解：，为的中点，，
，，
，即，
，，
（另一值不符合题意，舍去，，
在中，由余弦定理有，解得，
．
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形中，已知角，，的对边分别为，，c，．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)
(1)选择①：
因为，所以，
由正弦定理得，，
即，即，即，
即．因为，
又为锐角，所以．
选择②：
因为，
由正弦定理得，，
即．
又，
所以．
因为，所以，
又为锐角，所以，．
(2)因为，
所以，则．
(法一)由余弦定理得，．①
因为为锐角三角形，所以即
将①代入上式可得即解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
(法二)由正弦定理得，
又，所以．
因为为锐角三角形，所以解得
因为，所以，，
即，解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为．
2．（2022·山西·朔州市平鲁