人教高中数学第8章 §8.10　圆锥曲线中范围与最值问题.docx

§8.10　圆锥曲线中范围与最值问题
题型一　范围问题
例1　(2022·临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，以PF1为直径的圆E：x2＋2＝过焦点F2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(M，N与A点不重合)，且满足AM⊥AN，点Q为MN的中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围．
解　(1)在圆E的方程中，令y＝0，得x2＝3，
解得x＝±，
所以F1，F2的坐标分别为(－，0)，(，0)．
因为E，
又因为|OE|＝|F2P|，OE∥F2P，
所以点P的坐标为，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2×＋＝4，
得a＝2，b＝1，
即椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)右顶点为A(2,0)，由题意可知直线AM的斜率存在且不为0，
设直线AM的方程为y＝k(x－2)，
由MN与x轴不垂直，故k≠±1.
由
得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又点A(2,0)，
则由根与系数的关系可得2x1＝，
得x1＝，y1＝k(x1－2)＝，
因为AM⊥AN，
所以直线AN的方程为y＝－(x－2)，
用－替换k可得，x2＝，y2＝，
所以点Q坐标为
，
所以直线AQ的斜率
k1＝＝，
直线MN的斜率
k2＝＝＝，
所以k1k2＝＝，
因为k2>0且k2≠1，
所以2k2＋＋1>2＋1＝5，
所以0<<，
即k1k2∈.
所以直线MN与AQ的斜率之积的取值范围是.
教师备选
(2022·武汉调研)过双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若△ABF2可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围．
解　(1)依题意得|AF1|＝2，|AF2|＝4，
|F1F2|＝2.
∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，
2c＝|F1F2|＝2，c＝，b2＝c2－a2＝2，
此时Γ的标准方程为x2－＝1.
(2)设l的方程为x＝my－c，与－＝1联立，
得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
由AF2⊥BF2，·＝0，
(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，
(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0
⇒(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0
⇒(m2＋1)b4＝4a2c2
⇒(m2＋1)＝≥1
⇒4a2c2≥(c2－a2)2，
∴c4＋a4－6a2c2≤0⇒e4－6e2＋1≤0，
又∵e>1，∴1<e2≤3＋2，
∴1<e≤1＋，
又A，B在左支且l过F1，
∴y1y2<0，
<0⇒m2<⇒m2＋1＝<＋1，
∴4a2<b2＝c2－a2⇒e2>5.
综上所述，<e≤1＋.
思维升华　圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
跟踪训练1　(2022·南昌模拟)已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，D(1,0)，直线DA与直线DB的斜率之积为，求直线l的斜率的取值范围．
解　(1)由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2，
且|PM|＝|PQ|＋|QM|，
则|QN|＋|QM|＝2>2，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝，c＝1，b＝1，
则点Q的轨迹方程C：＋x2＝1.
(2)由已知得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
联立方程
消去y得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－2＝0，
Δ＝8k2－8m2＋16>0，
解得m2<k2＋2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以kDA·kDB＝·
＝·＝，
化简得＝.