人教高中数学第09讲 函数的奇偶性与周期性（解析版）.docx

第09讲 函数的奇偶性与周期性
【基础知识全通关】
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【考点研****一点通】
考点01 ：函数奇偶性的判断
【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故选：．
【知识拓展】
(1)奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)．
(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(4)奇、偶函数图象对称性的应用．
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
【典例2】【多选题】（2022·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】AD
【解析】
由奇偶性的定义逐一证明即可.
【详解】
对于A，，，即是奇函数，故A正确；
对于B，，，即是偶函数，故B错误；
对于C，，，即是奇函数，故C错误；
对于D，，，即是偶函数，故D正确；
故选：AD
考点02：函数奇偶性的应用
【典例3】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数为奇函数，当时，
，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由奇函数对称性可得，代入已知解析式解得.
【详解】
函数为奇函数，.
又，则，解得.
故选：B.
【典例4】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，
则当x<0时，f(x)= （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
是奇函数，x≥0时，．
当时，，，得．故选D．
【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理））已知实数，满足，则___________.
【答案】
【解析】
由，可得，构造函数，由函数的奇偶性单调性，计算即可得出结果.
【详解】
因为，
所以，
令，则在上为单调递增的奇函数，
又，所以，所以.
故答案为：4
【总结提升】
函数奇偶性的应用
(1)求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
(2)求参数值
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
考点03：函数周期性及其应用
【典例6】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：是奇函数；
乙：的图象关于直线对称；
丙：在区间上单调递减；
丁：函数的周期为2.
如