人教高中数学第19讲 不等式的证明（解析版）.docx

第19讲 不等式的证明
高考预测一：一元不等式的证明
1．证明：
（1）；
（2）．
【解析】证明：（1）令，
则，
，，
在时单调递减，
成立，
；
，等号成立；
，，
即，
在时单调递增，
成立，
．
令，则它的导数为．
当时，，故函数在上是减函数．
当时，，当且仅当时，，故函数在，上是增函数．
故当时，函数取得最小值为0，
故有，．
；
（2）设，则，
当时，，．
当时，，
在上是增函数，
．
当时，，
在上是减函数，
．
对都有，
．
2．设函数在处取得极值．
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）证明对任意的正整数，不等式．
【解析】（1）解：，
，
在处取得极值，
，，
故，
当，即时，，
当，即时，，
的增区间为，减区间为．
（2）证明：当时，左边，右边，成立；
当时，左边，右边，成立；
当时，原不等式等价于，
令，，
则，
当时，，，
，
从而，递减，
所以，当时，
有，
即，
综上所述：对任意的正整数，不等式都成立．
3．设函数，其中
（1）若，求在，的极小值；
（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；
（3）证明不等式：
【解析】解：（1）由题意知，的定义域为
时，由，得舍去），
当，时，当，时，，
所以当，时，单调递减；当，时，单调递增，
所以（2）
（2）由题意在有两个不等实根，
即在有两个不等实根，
设，则，解之得
（3）当时，．令，
则在，上恒正
在，上单调递增，
当时，恒有
即当时，有，
即．
4．当时，求证：．
【解析】证明：令，则，
，．
当时，，即．
所以在上单调递减．
所以，属．
所以在上单调递减．
所以，．
即，．
高考预测二：函数不等式证明中的变形原理
5．已知函数．
讨论函数的单调性；
若在点，（1）处的切线斜率为．
求的解析式；
求证：当．
【解析】解：由题意可得，定义域为
对函数求导可得，
①时，，
由可得，，由可得
在单调递增，在，单调递减
②时，令可得或
当时
由可得，由可得
故在单调递减，在，单调递增
当时，同理可得在单调递减，在，单调递增
当时，
在增（6分）
解：由知）知
．（8分）
证明：
令
故当时，，在单调递增，
（1），又
当时，，在单调递增，（1）
又，
综上所述，且时，（14分）
6．已知函数
求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：．
【解析】解：
所以（1），所以切线方程
（Ⅱ），
即：，，则有，
即要使成立．
令，那么，
可知当时单调增，当时单调减．
故在处取最大值为，
那么要使得成立，则有．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：，即
当时，，
当时，
．
综上所述，
7．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）如果当时，，求的取值范围．
【解析】解：切线方程为即，
（1）由于直线的斜率为，且过点，
故，即，解得，．
（2）由（1）知，所以
．
考虑函数，则
，
设，由知，
当时，，可得，
从而当时，，
设．由于当，时，，故，
而（1），故当时，，可得，与题设矛盾．
设．此时，而（1），
故当时，，可得，与题设矛盾．
综合得，的取值范围为，．
8．已知函数，是自然对数的底数）．
（1）求的单调区间；
（2）设，其中为的导函数．证明：对任意，．
【解析】解：（1）求导数得，，
令，，
当时，；当时，．
又，
所以时，；
时，．
因此的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明：（2）因为．
所以，．
由，
求导得，
所以当时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递减．
所以当时，．
又当时，，
所以当时，，即．
综上所述，对任意，
9．已知函数，．，且为常数，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）函数的你定义域为，，
，
在区间上单调递增，且，
①当时，在区间上恒成立，即，
函数在上单调递增，此时无极值点；
②当时，方程有唯一解，设为，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
是函数的极小值点，即函数只有一个极值点；
综上，当时，无极