人教高中数学第二节 第4课时 压轴考法自主选——函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略 教案.doc

第4课时　压轴考法自主选——“函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略
难点一　隐零点问题
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．
[典例]　设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
[解题观摩]
(1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，单调递增区间是(ln a，＋∞)．(解答过程略)
(2)由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0，
即k<x＋(x>0)恒成立．
令g(x)＝＋x(x>0)，
得g′(x)＝＋1＝(x>0)．
由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函数．
又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)min＝g(α)＝＋α.
又h(α)＝eα－α－2＝0，
所以eα＝α＋2且α∈(1,2)，
则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)，
所以k的最大值为2.
[名师微点]
本题的关键就是利用h(x)＝ex－x－2及h(1)<0，h(2)>0确定h(x)的隐零点，从而作出判断．
[针对训练]
1．设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.
解：f′(x)＝x(ex－2k)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2k.
事实上，可证ln 2k＜k，
设g(k)＝ln 2k－k，
则g′(k)＝≥0，
所以g(k)在上是增函数，
所以g(k)≤g(1)＝ln 2－1＜0，即ln 2k＜k.
所以f(x)在(0，ln 2k)上是减函数，在(ln 2k，k]上是增函数，所以M＝max{f(0)，f(k)}．
设h(k)＝f(k)－f(0)＝(k－1)ek－k3＋1，
则h′(k)＝k(ek－3k).
又令φ(k)＝ek－3k，
则φ′(k)＝ek－3≤e－3＜0，
所以函数φ(k)在上是减函数．
又因为φ＞0，φ(1)＜0，
所以函数φ(k)在上存在唯一的零点k0.
所以当＜k＜k0时，φ(k)＞0，即h′(k)＞0，
当k0＜k≤1时，φ(k)＜0，即h′(k)＜0，
所以函数h(k)在上是先增后减．
又因为h＝－＞0，h(1)＝0，
所以h(k)＝f(k)－f(0)≥0，
f(k)≥f(0)，
故M＝f(k)＝(k－1)ek－k3.
难点二　极值点偏移问题
在近几年的高考中，极值点偏移问题常作为压轴题出现，题型复杂多变，面对此类问题时常会感到束手无策．事实上，只要掌握这类问题的实质，巧妙消元、消参、构造函数，问题便能迎刃而解．
1．极值点偏移的含义
若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.
极值点x0
函数值的
大小关系
图示
极值点不偏移
x0＝
f(x1)＝f(2x0－x2)
极值点偏移
左
移
x0<
峰口向上：f(x1)<
f(2x0－x2)
峰口向下：f(x1)>
f(2x0－x2)
右
移
x0>
峰口向上：f(x1)>
f(2x0－x2)
峰口向下：
f(x1)<
f(2x0－x2)
2．函数极值点偏移问题的题型
极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：
(1)若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(2)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0；
(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2