人教高中数学第七节 直线与圆锥曲线的位置关系 教案.doc

第七节　直线与圆锥曲线的位置关系
核心素养立意下的命题导向
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养；
2．了解圆锥曲线的简单应用，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．
3．通过学****直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，
由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；
Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；
Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．
当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．
当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．
2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(直线与圆锥曲线的位置关系)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C　结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.
2．(弦长公式)过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|
AB|＝________.
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，
直线AB的方程为y＝x＋1，
即x＝(y－1)．由
消去x得3(y－1)2＝4y，
即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.
答案：
二、易错点练清
1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.
2．(忽略直线过定点)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
[典例]　(1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)
A．有且只有一条　　　　　 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
(2)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
[解析]　(1)设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
(2)由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，解得m≥1且m≠5.
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]　直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
代数法
即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标
几何法
即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数
　　[针对训练]
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析：选B　∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝ ＞2，∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．
2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交