人教高中数学第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教案.doc

第四章 三角函数、解三角形
第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
核心素养立意下的命题导向
1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．
2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
4．弧度制
定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
5.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α
叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三
角
函
数
线
有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(多选·任意角的三角函数)下列说法中正确的是(　　)
A．－75°是第四象限角
B．475°是第二象限角
C．若sin α>0，则α是第一、二象限的角
D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－
解析：选AB　A选项，－90°<－75°<0°，所以终边落在第四象限，A正确．
B选项，475°＝115°＋360°，所以终边落在第二象限，B正确．
C选项，若sin α>0，则角α的终边落在第一、二象限及y轴正半轴上，所以C错误．
D选项，cos α＝，所以D错误．故选A、B.
2．(象限角)已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．
答案：一
3．(弧长公式)已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
答案：
4．(三角函数的定义)已知角α的终边过点P(－1,2)，则sin α＝________.
答案：
二、易错点练清
1．(易忽视扇形公式中的α是弧度制)已知60°的圆心角所对的弧长为2，则该弧所在圆的半径为(　　)
A.　　　　　　　　 　 B.
C. D．
答案：B
2．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－8m,6m)(m≠0)，则sin α＝________.
解析：由题意得x＝－8m，y＝6m，所以r＝10|m|.
当m>0时，sin α＝＝；
当m<0时，sin α＝＝－.
答案：或－
3．(忽视轴线角)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：∵cos α≤0，sin α＞0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2＜a≤3.
答案：(－2,3]
考点一　象限角及终边相同的角的表示
[典例]　(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0　　　　　　　 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
(2)与－2 020°终边相同的最小正角是________．
[解析]　(1)∵α是第四象限角，
∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，
∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．
(2)因为－2 020°＝(－6)×360°＋140°，所以140°与－2 020°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有140°与－2 020°终边相同，故与－2 020°终边相同的最小正角是140°.
[答案]　(1)D　(2)140°
[方法技巧]
1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．