人教高中数学第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题 (精讲）（教师版）.docx

第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：中线长问题
角度1：求中线长（或中线长范围，最值）
角度2：已知中线长，求其它元素
高频考点二：已知角平分线问题
角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）
角度2：已知角平分线，求其它元素
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：中线长问题
角度1：求中线长（或中线长范围，最值）
1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为，所以，
即，
又因，所以
又由题意可知，
所以，因为，所以.
(2)由余弦定理可得，
又，
则
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以
，由题意得，解得，
则，
所以所以
所以所以中线CD长的取值范围为
2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练****在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求的中线AM的最小值．
【答案】(1)(2)
(1)解：在中，因为，
所以，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
(2)因为AM是的中线，
所以，
由（1）知，
所以，
，
当且仅当时取“＝”，则，
所以的中线AM的最小值为．
3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A；
(2)若，，求的BC边上的中线AD的长．
【答案】(1)(2)
(1)解：（1）若选①，即，得，
，或（舍去），
，；
若选②：，
由正弦定理，得，
，，，则，，；
(2)解：是的边上的中线，，
，
，
．
4．（2022·云南昆明·高一期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，.
(1)已知的面积S满足，求角A；
(2)若边BC上的中线为AD，求AD长的最小值.
【答案】(1)(2)
(1)解：由，可得，∴.
∵，故.
又，∴.
(2)解：在和中，分别由余弦定理可得，，
∴，整理得，
∴2，即，当且仅当时取等号，即AD长的最小值为.
角度2：已知中线长
1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
【答案】(1)；(2).
(1)由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
(2)由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
2．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练****设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若的面积为，求a；
(2)若边上的中线，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)因为所以，
因为，所以，所以.
(2)因为为边上的中线，
所以，
则
因此，即
化简得，所以，
由余弦定理，解得，
由，即，解得.
3．（2022·河北·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若边上的中线长为4，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
(1)因为，
所以由余弦定理得，，
，
，
整理得，
，
因为，所以，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
(2)因为边上的中线长为4，
所以，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
，
因为，
所以，
所以，即，
当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为，
4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）△中，角所对的边分别是.
(1)求角；
(2)若边的中线，求△面积.
【答案】(1)(2)
(1)