人教高中数学第13讲 对数函数（解析版）.docx

对数函数
【基础知识网络图】
对数与对数函数
图象与性质
对数运算性质
对数函数的图像与性质
对数的概念
指对互化运算
【基础知识全通关】
知识点01对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
知识点02反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
y＝x对称．
【知识拓展】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
【考点研****一点通】
考点01：对数函数的概念与图象
【典例1】函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
当时，对数函数为增函数，当时函数的值为负.无满足条件的图像.
当时，对数函数为减函数，当时函数的值为正.C满足.
故选：C
【典例2】在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【典例3】在同直角坐标系中，与的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
利用函数的单调性排除选项，以及根据函数的图象判断，再利用函数的对称性排除选项.
【详解】
函数的单调性与的单调性一致，两段区间都是单调递增，故排除BC，AD选项中，，当时，，即，
而关于点对称，因为，故排除D.
故选：A
【总结提升】
1.对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2. (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低；
(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
4．对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．
5．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
考点02：对数函数的性质及应用
【典例4】设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根据指数运算与对数运算得，，，再根据即可判断，进而得答案.
【详解】
因为，
，，
所以，即
所以
故选：A
【典例5】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
考点03 ：对数函数的性质及应用
【典例6】若函数 则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.
【典例7】满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
为偶函数.
，
，.
在单调递减，，即.
故选：.
【典例8】【多选题】若实数，则下列不等式中一定成立的