人教高中数学第18讲 恒成立问题与存在性问题（解析版）.docx

第18讲 恒成立问题与存在性问题
高考预测一：不等式的恒成立问题
1．已知函数，在点，处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求证：当时，；
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【解析】解：（1），
故，
由，得，
由，得，解得：，
故；
（2）原命题等价于，，
设，
，
当时，，函数在递增，
，故，；
（3）对恒成立，
，，
故，时，，且，，恒成立，
即时，函数在递增，，
当时，令，解得：，取，
，，的变化如下：
，
0
递增
极大值
递减
，显然不成立，
综上，满足条件的的最大值是2．
2．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），
①时，在恒成立，故在单调递减，
②时，由，解得：，
由，解得：，
故在单调递增，在单调递减；
（2）由（1）可得，当时，在单调递减，
，
当时，在单调递增，在单调递减，
（a），
令（a），，
易知函数（a）在单调递增，
又（1），
当时，（a），即，满足题意，
当时，（a），即，不满足题意，
综上所述的取值范围为，．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），
当时，，又，
故，递增，
当时，令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增；
（2），即，
时，递增，恒成立，
时，，
故，
令（a），（a），
故（a）递减，又，
故，
综上：，．
4．已知函数，其中实数．
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若在区间，上恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由可得函数定义域为，
，
令，经验证（1），
因为，所以的判别式△，
由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，
所以1是的异号零点，所以是函数的极值点．
（Ⅱ）已知，因为，
又因为，所以，
所以当时，在区间，上，
所以函数单调递减，所以有恒成立；
当时，在区间，上，所以函数单调递增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以时，有在区间，恒成立．
5．设函数．若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】解法一：
令，
对函数求导数：
令，解得，
当时，对所有，，所以在，上是增函数，
又，所以对，都有，
即当时，对于所有，都有．
当时，对于，，所以在是减函数，
又，所以对，都有，
即当时，不是对所有的，都有成立．
综上，的取值范围是，．
解法二：
令，
于是不等式成立即为成立．
对函数求导数：
令，解得，
当时，，为增函数，
当，，为减函数，
所以要对所有都有充要条件为．
由此得，即的取值范围是，．
6．已知函数，为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且，
（1）求的值；
（2）对任意，证明：；
（3）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）所以（3分）
（2）证明：令，，当，，
所以当时单调递增，从而有，；
所以，
，
所以当，；（8分）
（3）令，
则，令，解得，
当时，所以，从而对所有，；在，上是增函数．
故有，
即当时，对于所有，都有．
当时，对于，，所以在上是减函数，所以对于有，
即，
所以，当，不是所有的都有成立，
综上，的取值范围是，（14分）
7．设函数．
（Ⅰ）求函数在点， 处的切线方程；
（Ⅱ）求的极小值；
（Ⅲ）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，又，
，切点为，所求切线方程为．（2分）
（Ⅱ）设，得，得；，得，得；，得，得；
则．（6分）
（Ⅲ）令，
则．
令，得，得；，
得，得；，得，得；
（1）当时，，，
对所有时，都有，于是恒成立，
在，上是增函数．
又，于是对所有，都有成立．
故当时，对所有的，都有成立．
（2）当时，，，
对所有，都有恒成立，
在上是减函数．
又，于是对所有，都有．
故当时，只有对仅有的，都有．
即当时，不是对所有的，都有．
综合（1），（2）可知实数的取值范围，．（12分）
8．设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）．（2分）
当时，，即；
当时，，即．
因此在每一个区间是增函数，在每一个区间是减函数．（6分）
（Ⅱ）令，则．
故当时，．
又，所以当时，，即．（9分）
当时，令，