人教高中数学解密11 圆锥曲线的方程与性质（分层训练）（解析版）.doc

解密11 圆锥曲线的方程与性质
A组 考点专练
一、选择题
1.【2020北京卷】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
【答案】B
【解析】如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线过点P.故选B.
2.(多选题)【2020新高考全国卷】已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±x，C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，D正确.
3.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A.p＝4 B.＝
C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4
【答案】ABC
【解析】如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由直线l的斜率为，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，
∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠PEF＝30°，
∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正确.
∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则＝，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，
∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.
由C选项知|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误.故选ABC.
4.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有·＝0，若点P到x轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
【答案】A
【解析】因为·＝0，所以PF1⊥PF2，
则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.
由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.
因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①
在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|F1F2|＝c2.
代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，
故双曲线的离心率e＝＝＝.
5.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠
PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A