人教高中数学阅读与欣赏(九)　概率、统计综合问题的三种常用求解策略.doc

概率、统计综合问题的三种常用求解策略
策略一　公式法
在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是.
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列；
(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．
【解】　(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
依条件可知，X～B(6，)，
P(X＝k)＝C·()k·()6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)．
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
则P(A)＝C·()2·()4＋C··()5＋()6＝，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为.
对于此类问题求解，若随机变量X服从二项分布B(n，p)，则其概率、均值与方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得．　
策略二　间接法
随机观测生产某种零件的某工厂20名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25，30]
2
0.10
(30，35]
4
0.20
(35，40]
5
0.25
(40，45]
m
fm
(45，50]
n
fn
(1)确定样本频率分布表中m，n，fm和fn的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30
，35]内的概率．
【解】　(1)由已知数据，得区间(40，45]内的频数m＝6，区间(45，50]内的频数n＝3，故fm＝＝0.3，fn＝＝0.15.
(2)由频率分布表，画出频率分布直方图如下图：
(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30，35]内的频率为0.2，设所取的3人中，日加工零件数落在区间(30，35]内的人数为ξ，则ξ～B(3，0.2)，
故P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)3＝0.488.
因此至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]内的概率为0.488.
当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解，即“正难则反”．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．　
策略三　对称法
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数
，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(