人教高中数学第六节 概率与统计的综合问题 教案.doc

第六节　概率与统计的综合问题
题型一　概率与频率分布直方图的交汇
[典例]　(2021·西安一模)某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温(单位：℃)有一定关系：最高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克；最高气温位于[25,30)内，需求量为2 000千克；最高气温不低于30 ℃，需求量为3 000千克．为了制订2020年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到如图所示的频率分布直方图．
以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
(1)求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；
(2)设2020年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E(Y)取到最大值？
[解]　(1)由题意知X的可能取值为1 000,2 000,3 000，
P(X＝1 000)＝(0.008 9＋0.031 1)×5＝0.2，
P(X＝2 000)＝0.080 0×5＝0.4，
P(X＝3 000)＝(0.046 7＋0.033 3)×5＝0.4.
所以X的分布列为
X
1 000
2 000
3 000
P
0.2
0.4
0.4
(2)设一天的进货量为n千克，则1 000≤n≤3 000.
①当1 000≤n<2 000时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝8n；
若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n.
此时E(Y)＝0.8×8n＋0.2×(14 000－6n)＝5.2n＋2 800<13 200.
②当2 000≤n≤3 000时，
若最高气温不低于30 ℃，则Y＝8n；
若最高气温位于[25,30)内，则Y＝2 000×8－(n－2 000)×6＝28 000－6n；
若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n.
此时E(Y)＝0.4×8n＋0.4×(28 000－6n)＋0.2×(14 000－6n)＝14 000－0.4n≤13 200，当且仅当
n＝2 000时取等号．
综上，当一天的进货量为2 000千克时，E(Y)取到最大值．
[方法技巧]
高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．　　
[针对训练]
“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参加主题教育活动时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16]内的人数为92.
(1)求n的值；
(2)估计这些党员干部一周参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数的结果精确到0.01)；
(3)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16,20]，(20,24]内的分别得二等奖和一等奖，从这些获奖人中随机抽取5人，求这5人中获得一等奖人数的分布列及期望．
解：(1)由已知可得，a＝1÷4－(0.025 0＋0.047 5＋0.050 0＋0.012 5)＝0.115 0，
0．115 0×4×n＝92，因而n＝＝200.
(2)这些党员干部一周参加主题教育活动时间的平均值约为
(6×0.025 0＋10×0.047 5＋14×0.115 0＋18×0.050 0＋22×0.012 5)×4＝13.64.
设中位数的估计值为x，则0.050 0×4＋0.012 5×4＋(16－x)×0.115 0＝0.5，得x≈13.83.
(3)由频率分布直方图知，这些获奖人中参与主题教育活动的时间在(16,20]的概率为＝，在(20,24]的概率为＝，
设抽取的5人中获得一等奖的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.
P(ξ＝0)＝C×0×5＝，
P(ξ＝1)＝C×1×4＝，
P(ξ＝2)＝C×2×3＝，
P(ξ＝3)＝C×3×2＝，
P(ξ＝4)＝C×4×1＝，
P(ξ＝5)＝C×5×0＝，
则ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
法一：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝