人教高中数学专题23 概率统计综合大题必刷100题(解析版).docx

专题23 概率统计综合大题必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
1．医学统计表明，疾病在老年人中发病率较高．已知某地区老年人的男女比例为3：2，为了解疾病在该地区老年人中发病情况，按分层抽样抽取100名老人作为样本，对这100位老人是否患有疾病进行统计，得条形图如下所示．
（1）完成下列2×2列联表，并判断有没有90%的把握认为患疾病与性别有关？
男性
女性
合计
患有疾病
未患疾病
合计
（2）在这100个样本中，将未患疾病老年人按年龄段，，，，分成5组，得频率分布直方图如图二所示．求未患病老年人的中位数（精确到小数点后一位）．
附：，其中．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）填表见解析；没有90%的把握认为患疾病与性别有关；（2）中位数约为74.5．
【分析】
（1）由分层抽样确定样本中老年男性、女性的人数，根据条形图可知未患X疾病的男性、女性人数，进而写出列联表，由卡方公式求值，即可给出结论.
（2）由频率直方图中频率和为1求参数a，根据中位数在直方图中的性质：其两侧面积相等，即可求中位数.
【详解】
解：（1）由条形图知男性共60人，女性共40人，
未患有X疾病男性有40人，未患有X疾病女性25人，完成2×2列联表如下：
男性
女性
合计
患有疾病
20
15
35
未患疾病
40
25
65
合计
60
40
100
计算：
所以，没有90%的把握认为患疾病与性别有关．
（2）由频率分布直方图得：，
得
设中位数为，则．
，得
即未患病老人的年龄中位数约为74.5.
2．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以，，，…，表示第一次排序时被排在，，，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，，，，等可能地为
，，，的各种排列，且各轮测试相互独立．
（1）直接写出的可能取值，并求的分布列和数学期望；
（2）若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．
【答案】（1）的可能取值为，，，，，分布列见解析，5；（2），答案见解析.
【分析】
（1）先求出的可能取值，根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式进行求解判断即可.
【详解】
解：（1）的可能取值为，，，，
，，，
，，所以的分布列为
从而的数学期望．
（2）记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”为事件，则，
又各轮测试相互独立，，
因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而，该可能性非常小，
所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，不是靠随机猜测，故这种测试合理．
3．随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行亿元政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的.
使用过政府消费券
没使用过政府消费券
总计
45岁及以下
90
45岁以上
总计
200
（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？
（2）现从岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取人做进一步访谈，然后再从这人中随机抽取人填写调查问卷，则抽取的人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的概率为多少？
附：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
【答案】（1）表格见解析，有；（2）.
【分析】
（1）求出年龄在45岁及以