人教专题13解析几何 13.1直线方程 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十三 《解析几何》讲义
13.1 直线方程
知识梳理.直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝.　
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
4．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
5．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .　
题型一. 倾斜角与斜率之间的关系
1．直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，π） B．[0，π4]∪[3π4，π)
C．[0，π4] D．[0，π4]∪(π2，π)
【解答】解：直线sinθ•x﹣y+1＝0的斜率k＝sinθ∈[﹣1，1]，
设直线的倾斜角为α，
则﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，
∴3π4≤α＜π或0≤α≤π4．
∴直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）．
故选：B．
2．若0＜α＜π2，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（　　）
A．α B．π2+α C．π﹣α D．﹣α
【解答】解：经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的斜率为：−cosαsinα=−cotα.0＜α＜π2，
∴直线的倾斜角为β．tanβ＝﹣cotα＝tan（π2+α）．
∴β=π2+α．
故选：B．
3．已知直线l过点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是　（﹣∞，−12]∪[5，+∞）　．
【解答】解：∵点P（﹣1，2）、A（﹣2，﹣3），
∴直线AP的斜率k1=−3−2−2+1=5．同理可得直线BP的斜率k2=−12．
设直线l与线段AB交于M点，
当直线的倾斜角为锐角时，随着M从A向B移动的过程中，l的倾斜角变大，
l的斜率也变大，直到PM平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥5；
当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到
直线BP的斜率，此时l的斜率k≤−12．
综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（﹣∞，−12]∪[5，+∞）．
故答案为：（﹣∞，−12]∪[5，+∞）
题型二. 直线方程
1．直线l过点A（1，1），且l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线l的斜率的取值范围为　（﹣1，1）　．
【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），化为：y＝kx+1﹣k，
由题意可得：0＜1﹣k＜2，
解得﹣1＜k＜1．
∴直线l的斜率的取值范围为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　3　．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴直线AB的方程是：x3+y4=1，即4x+3y﹣12＝0，
设 P（x，y），则x＝3−34y，
∴xy＝3y−34y2=−34（y﹣2）2+3≤3．
当且仅当y＝2，x=32时，取等号，
∴xy的最大值是3．
故