人教高中数学专题03 函数的最值(值域)求法(解析版).docx

专题03 函数的最值(值域)求法
专项突破一 单调性法
1．函数在的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数是单调递增函数，所以函数也是单调递增函数，
所以.故选：C
2．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为在单调递增，在单调递增，
所以在单调递增.所以.
因为对任意恒成立，所以.故选：D
3．若函数的值域是，则函数的值域是（        ）
A． B． C． D．
【解析】令，，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，故选：B．
4．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】，使得，等价于， ，
由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，
又在上单调递增，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.
5．函数，若的最大值和最小值是____．
【解析】令t＝sinx+cosx＝sin（x+），当x∈[0，]时，则t∈[1，]，
所以2sinxcosx＝t2﹣1，则y＝t2+t+1＝（t+）2+，在t∈[1，]上单调递增，
此时y的最大值是，而最小值是3．
6．函数的值域为___________.
【解析】依题意，在上单调递减，则当时，，
在上单调递增，则当时，，
所以函数的值域为.
7．已知函数．
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值域.
【解析】(1)函数在上的为增函数，理由如下：
任取，且，有
，
∵，∴，
∴即，∴函数在区间上单调递增，
(2)由（1）可知函数在区间上单调递增，
∴，又∵时，，∴
∴，∴函数的值域为.
8．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）值点．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】(1)因为，所以函数在上单调递增，区间为开区间，
所以该函数没有最大值和最小值；
(2)因为，所以一次函数在上单调递减，
所以，因此该函数单调递减，
当时，函数有最小值，当时，函数有最大值；
(3)因为的对称轴为：，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，函数有最小值，因为，
所以当时，函数有最大值；
(4)，
因为，所以当时，函数单调递增，
故当时，函数有最小值，当时，函数有最大值.
9．已知．
(1)求的定义域；
(2)讨论的单调性；
(3)求在区间上的值域．
【解析】(1)由，得，解得.
所以定义域为；
(2)设0<x1<x2，则，
∴，∴，
故在(0，＋∞)上为增函数．
(3)∵在(0，＋∞)上为增函数，
又，
∴在区间上的值域为.
10．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
【解析】(1)因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
(2)由（1）知，，所以，
令，则，，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；所以，
所以函数在的值域为.
11．已知函数．
(1)用定义法证明函数在上为增函数；
(2)若，且当时恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)，
对任意的，有
．
因，，∴．
∴函数在上为增函数．
(2)当时恒成立即，恒成立，
，恒成立．
由（1）得在上为减函数，．
∴．
专项突破二 判别式法
1．函数的最大值与最小值的和是（        ）
A． B． C． D．
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.
2．求函数的值域______________．
【解析】由解析式知：函数的定义域为，且，
∴整理可得：，即该方程在上有解，
∴当时，，显然成立；
当时，有，整理得，即，
∴综上，有函数值域为.
3．求函数的最小值.
【解析】解法一：函数的定义域为一切实数..①
又，即，
对①式两边平方，得.
整理，得.②
对②式两边平方，得，
再整理，得.③
，x为实数，，
化简并整理，得，
即，
又，，，
当时，方程③为，即，
解得，故函数的最小值为.
解法二：
令，，，则
点A关于x轴的对称点为.则
（其中运用